9. (1 балл) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите длину вектора AO + OB.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( AC = 16 \) и \( BD = 12 \).

Тогда \( AO = OC = \frac{16}{2} = 8 \) и \( BO = OD = \frac{12}{2} = 6 \).

Векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{OB} \) перпендикулярны, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Сумма векторов \( \vec{AO} + \vec{OB} \) равна вектору \( \vec{AB} \) (по правилу треугольника).

Длина вектора \( \vec{AB} \) равна длине стороны ромба.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOB \). По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AO^2 + OB^2 \]

\[ AB^2 = 8^2 + 6^2 \]

\[ AB^2 = 64 + 36 \]

\[ AB^2 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Следовательно, длина вектора \( \vec{AO} + \vec{OB} \) равна 10.

Ответ: 10.