9) (1/4)^(2+3x) < 8^(x-1)

Решение:

Данное неравенство является показательным.

1. Приведём обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \) и \( 8 = 2^3 \).
2. Подставим эти значения в неравенство: \( (2^{-2})^{2+3x} < (2^3)^{x-1} \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \): \( 2^{-2(2+3x)} < 2^{3(x-1)} \).
4. Раскроем скобки: \( 2^{-4-6x} < 2^{3x-3} \).
5. Так как основание степени \( 2 > 1 \), то показатели степеней сравниваются в том же направлении: \( -4 - 6x < 3x - 3 \).
6. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( -4 + 3 < 3x + 6x \).
7. Упростим: \( -1 < 9x \).
8. Разделим обе части на 9: \( x > -\frac{1}{9} \).

Ответ: \( x > -\frac{1}{9} \).