13) 5^{x+1} + 5^{x-1} = 130

Решение:

Данное уравнение является показательным.

1. Вынесем общий множитель \( 5^{x-1} \) за скобки:
• \( 5^{x+1} = 5^{(x-1)+2} = 5^{x-1} \cdot 5^2 \)
• \( 5^{x-1} = 5^{x-1} \cdot 1 \)
2. Уравнение примет вид: \( 5^{x-1} \cdot 5^2 + 5^{x-1} \cdot 1 = 130 \).
3. \( 5^{x-1} (5^2 + 1) = 130 \).
4. \( 5^{x-1} (25 + 1) = 130 \).
5. \( 5^{x-1} \cdot 26 = 130 \).
6. Разделим обе части на 26: \( 5^{x-1} = \frac{130}{26} \).
7. \( 5^{x-1} = 5 \).
8. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: \( x-1 = 1 \).
9. \( x = 1 + 1 \) \(\implies\) \( x = 2 \).

Ответ: \( x=2 \).