8. Вычислите определенный интеграл: ∫₁² (8x - 9x² + 5) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 8x - 9x^2 + 5 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) и константы \( \int c dx = cx \).

\[ \int (8x - 9x^2 + 5) dx = 8\int x dx - 9\int x^2 dx + 5\int dx \]\[ = 8\frac{x^{1+1}}{1+1} - 9\frac{x^{2+1}}{2+1} + 5x + C \]\[ = 8\frac{x^2}{2} - 9\frac{x^3}{3} + 5x + C \]\[ = 4x^2 - 3x^3 + 5x + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

В нашем случае \( a=1 \) и \( b=2 \). Возьмём первообразную \( F(x) = 4x^2 - 3x^3 + 5x \) (константу C можно опустить).

\[ \int_1^2 (8x - 9x^2 + 5) dx = F(2) - F(1) \]\[ = (4(2)^2 - 3(2)^3 + 5(2)) - (4(1)^2 - 3(1)^3 + 5(1)) \]\[ = (4(4) - 3(8) + 10) - (4(1) - 3(1) + 5) \]\[ = (16 - 24 + 10) - (4 - 3 + 5) \]\[ = (2) - (6) \]\[ = -4 \]

Ответ: -4