12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = 4x² + 16x + 5

Решение:

Функция \( y = 4x^2 + 16x + 5 \) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола.

1. Промежутки монотонности:

Чтобы найти промежутки монотонности, найдём первую производную функции:

\[ y' = (4x^2 + 16x + 5)' \]\[ y' = 8x + 16 \]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 8x + 16 = 0 \]\[ 8x = -16 \]\[ x = -2 \]

Теперь определим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, \infty) \):

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = 8(-3) + 16 = -24 + 16 = -8 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 8(0) + 16 = 16 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на интервале \( (-\infty, -2] \).
• Функция возрастает на интервале \( [-2, \infty) \).

2. Точки экстремума:

Производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = -2 \). Следовательно, в этой точке функция имеет минимум.

Найдем значение функции в этой точке:

\[ y(-2) = 4(-2)^2 + 16(-2) + 5 \]\[ y(-2) = 4(4) - 32 + 5 \]\[ y(-2) = 16 - 32 + 5 \]\[ y(-2) = -16 + 5 \]\[ y(-2) = -11 \]

Точка экстремума:

• Минимум функции достигается в точке \( (-2, -11) \).

Ответ: Промежутки монотонности: убывает на \( (-\infty, -2] \), возрастает на \( [-2, \infty) \). Точка минимума: \( (-2, -11) \).