11. Решите неравенство: log₃(x-1) ≥ -2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма \( 3 > 0 \) и \( 3 \neq 1 \).

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ x - 1 > 0 \]\[ x > 1 \]

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), при потенцировании знак неравенства сохраняется:

\[ \log_3(x-1) \ge -2 \]\[ x - 1 \ge 3^{-2} \]\[ x - 1 \ge \frac{1}{3^2} \]\[ x - 1 \ge \frac{1}{9} \]\[ x \ge 1 + \frac{1}{9} \]\[ x \ge \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \]\[ x \ge \frac{10}{9} \]

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ: \( x > 1 \) и \( x \ge \frac{10}{9} \).

Поскольку \( \frac{10}{9} = 1 \frac{1}{9} \), условие \( x \ge \frac{10}{9} \) уже включает в себя условие \( x > 1 \).

Ответ: \( x \ge \frac{10}{9} \)