8. Вычислите определенный интеграл: $$\int_0^3 (x-x^2+2) dx$$

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \(\int_0^3 (x-x^2+2) dx\) сначала найдем первообразную функции \(f(x) = x-x^2+2\).

Первообразная \(F(x)\) находится по правилу интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

\[ F(x) = \int (x-x^2+2) dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2x + C \]

\[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).

\[ \int_0^3 (x-x^2+2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x \right]_0^3 \]

\[ = \left( \frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{3} + 2\cdot3 \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} + 2\cdot0 \right) \]

\[ = \left( \frac{9}{2} - \frac{27}{3} + 6 \right) - (0) \]

\[ = \left( 4.5 - 9 + 6 \right) \]

\[ = 1.5 \]

Ответ: 1.5