7. Найдите производную: $$\left(\frac{\operatorname{ctg}x}{x}\right)'$$

Решение:

Для нахождения производной функции \(\frac{\operatorname{ctg}x}{x}\) используем правило дифференцирования частного: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Здесь \(u = \operatorname{ctg}x\) и \(v = x\).

Найдем производные \(u\) и \(v\):

\(u' = (\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}\)

\(v' = (x)' = 1\)

Теперь подставим в формулу:

\[ \left(\frac{\operatorname{ctg}x}{x}\right)' = \frac{\left(-\frac{1}{\sin^2x}\right) \cdot x - \operatorname{ctg}x \cdot 1}{x^2} \]

\[ = \frac{-\frac{x}{\sin^2x} - \operatorname{ctg}x}{x^2} \]

Упростим числитель:

\[ -\frac{x}{\sin^2x} - \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{x}{\sin^2x} - \frac{\cos x \cdot \sin x}{\sin^2x} = -\frac{x + \sin x \cos x}{\sin^2x} \]

Теперь подставим обратно в выражение для производной:

\[ = \frac{-\frac{x + \sin x \cos x}{\sin^2x}}{x^2} = -\frac{x + \sin x \cos x}{x^2 \sin^2x} \]

Ответ: $$ -\frac{x + \sin x \cos x}{x^2 \sin^2x} $$