8. Вычислите определенный интеграл: ∫ (12x³ – 6x + 1) dx от 1 до 2

Решение:

Сначала найдем первообразную для функции \( 12x^3 - 6x + 1 \).

Первообразная \( F(x) = \int (12x^3 - 6x + 1) dx = 12 \frac{x^4}{4} - 6 \frac{x^2}{2} + x = 3x^4 - 3x^2 + x \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_1^2 (12x^3 - 6x + 1) dx = [3x^4 - 3x^2 + x]_1^2 \]\[ = (3(2)^4 - 3(2)^2 + 2) - (3(1)^4 - 3(1)^2 + 1) \]\[ = (3 \cdot 16 - 3 \cdot 4 + 2) - (3 - 3 + 1) \]\[ = (48 - 12 + 2) - (1) \]\[ = 38 - 1 = 37 \]

Ответ: 37