5. Вычислите предел: lim (2x²+x-3)/(1+3x-x²) при x→∞

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \to \infty \) разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x^2 \).

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x-3}{1+3x-x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{3}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{3x}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}} \]\[ = \lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-1} \]

При \( x \to \infty \), дроби \( \frac{1}{x} \), \( \frac{3}{x^2} \), \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{3}{x} \) стремятся к нулю.

\[ = \frac{2+0-0}{0+0-1} = \frac{2}{-1} = -2 \]

Ответ: -2