10. Решите уравнение: 2 sin² x - 3 sin x - 2 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \).

Случай 1: \( \sin x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в диапазоне \( [-1, 1] \).

Случай 2: \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

Решениями этого уравнения являются:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \]\[ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \]

где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)