8) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (1/25)^(0.4x-2) = 125.

Решение:

Перепишем уравнение, используя одинаковое основание степени. \( \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2} \) и \( 125 = 5^3 \).

\[ (5^{-2})^{0.4x - 2} = 5^3 \]

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\[ 5^{-2(0.4x - 2)} = 5^3 \]\[ 5^{-0.8x + 4} = 5^3 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ -0.8x + 4 = 3 \]

Решаем линейное уравнение:

\[ -0.8x = 3 - 4 \]
\[ -0.8x = -1 \]
\[ x = \frac{-1}{-0.8} = \frac{1}{0.8} = \frac{1}{\frac{8}{10}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]

\( x = 1.25 \).

Теперь определим, какому промежутку принадлежит \( x = 1.25 \):

• 1) \( [-4;0) \) — Нет
• 2) \( [0;1) \) — Нет
• 3) \( [1;4) \) — Да, так как \( 1 \leq 1.25 < 4 \)
• 4) \( [4;6) \) — Нет

Ответ: 3) \( [1;4) \)