6) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения √125 - 4x² = -х.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, учитывая, что \( -x \geq 0 \), то есть \( x \leq 0 \).

\[ 125 - 4x^2 = (-x)^2 \]\[ 125 - 4x^2 = x^2 \]\[ 125 = 5x^2 \]\[ x^2 = \frac{125}{5} = 25 \]\[ x = \pm 5 \]

Так как \( x \leq 0 \), то подходит только \( x = -5 \).

Проверим этот корень в исходном уравнении:

\[ \sqrt{125 - 4(-5)^2} = \sqrt{125 - 4(25)} = \sqrt{125 - 100} = \sqrt{25} = 5 \]

Правая часть: \( -x = -(-5) = 5 \). Равенство выполняется.

Корень \( x = -5 \) принадлежит промежутку \( (-\infty; -5] \). Из предложенных вариантов, он принадлежит \( (-\infty;-10) \) и \( (-\infty;-\frac{4}{3}] \).

Среди вариантов: 1) \( [\frac{4}{3}; 36] \) 2) \( (-\infty;-10) \) 3) \( (\frac{4}{3}; 40] \) 4) \( (-\infty;-\frac{4}{3}] \).

Поскольку \( -5 \) находится в диапазоне \( (-\infty; -10] \) и \( (-\infty; -\frac{4}{3}] \), и \( -5 > -10 \) и \( -5 < -4/3 \) оба промежутка подходят.

Ответ: \( (-\infty; -10) \) (Так как -5 не входит в данный интервал, но обычно такие задания подразумевают, что корень должен попасть в один из предложенных интервалов. Здесь есть расхождение, но если выбирать из представленных, то 2 или 4. Если брать точное попадание, то ни один не подходит. По контексту, скорее всего, подразумевался интервал, содержащий -5. Оба 2 и 4 содержат -5. Выберем 2, предполагая, что интервал может быть шире.)

Корректный ответ, исходя из вариантов: 2) \( (-\infty;-10) \) или 4) \( (-\infty;-\frac{4}{3}] \). Если выбирать один, то 4 более точен, так как -5 является частью этого интервала.

Пересмотрев варианты, если предположить, что интервал должен содержать решение, то оба варианта 2 и 4 подходят. Однако, -5 является ближе к -4/3, чем к -10. Примем вариант 4.

Ответ: 4) \( (-\infty;-\frac{4}{3}] \)