10. Вычислите определенный интеграл \( \int_0^2 (2x + 9) dx \)

Решение:

Чтобы вычислить определенный интеграл, найдем первообразную функции \( f(x) = 2x + 9 \) и затем вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Первообразная \( F(x) \) для \( 2x + 9 \) равна:

\( F(x) = \int (2x + 9) dx = 2 \frac{x^2}{2} + 9x + C = x^2 + 9x + C \)

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\( \int_0^2 (2x + 9) dx = [x^2 + 9x]_0^2 \)

\( = (2^2 + 9 \cdot 2) - (0^2 + 9 \cdot 0) \)

\( = (4 + 18) - (0) \)

\( = 22 \)

Ответ: 22.