4. Решите уравнение: \( \log_6 (3x+1) = \log_6 (5x+15) \)

Решение:

Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы логарифмов:

\( 3x + 1 = 5x + 15 \)

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:

\( 1 - 15 = 5x - 3x \)

\( -14 = 2x \)

\( x = \frac{-14}{2} \)

\( x = -7 \)

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение \( x \) условиям существования логарифмов (аргументы должны быть положительными):

Для \( 3x + 1 \): \( 3(-7) + 1 = -21 + 1 = -20 \). Так как \( -20 < 0 \), то логарифм не определен.

Для \( 5x + 15 \): \( 5(-7) + 15 = -35 + 15 = -20 \). Так как \( -20 < 0 \), то логарифм не определен.

Поскольку найденное значение \( x \) приводит к отрицательным аргументам логарифмов, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет.