8. Решите уравнение sin x - cosx=1.

Решение:

Уравнение вида \( a\sin x + b\cos x = c \) можно решить, приведя его к виду \( R\sin(x + \alpha) = c \).

В данном случае \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \).

Вычислим \( R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \).

Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \):

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) \).

Подставим:

\( \cos(\frac{\pi}{4}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Используем формулу синуса разности \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \):

\( \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь найдём углы, синус которых равен \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).

\( x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Решим первое уравнение:

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

Решим второе уравнение:

\( x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) \( x = \pi + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)