10. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса равна 2\(\sqrt{2}\). Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Центральный угол \( \alpha = 120^{\circ} \). Высота конуса \( H = 2\sqrt{2} \).
2. Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
3. \( S_{осн} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.
4. \( S_{бок} = \pi R L \), где \( L \) — образующая конуса.
5. Связь между центральным углом и радиусом основания и образующей: \( \alpha = \frac{R}{L} \cdot 360^{\circ} \).
6. \( 120^{\circ} = \frac{R}{L} \cdot 360^{\circ} \)
7. \( \frac{R}{L} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)
8. \( L = 3R \).
9. Связь между высотой, радиусом и образующей: \( L^2 = R^2 + H^2 \).
10. Подставим \( L = 3R \) и \( H = 2\sqrt{2} \):
11. \( (3R)^2 = R^2 + (2\sqrt{2})^2 \)
12. \( 9R^2 = R^2 + 8 \)
13. \( 8R^2 = 8 \)
14. \( R^2 = 1 \)
15. \( R = 1 \) (так как радиус должен быть положительным).
16. Тогда \( L = 3R = 3(1) = 3 \).
17. Теперь вычислим площади:
18. \( S_{осн} = \pi R^2 = \pi (1)^2 = \pi \)
19. \( S_{бок} = \pi R L = \pi (1)(3) = 3\pi \)
20. \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 3\pi = 4\pi \).

Ответ: 4\(\pi\)