6. Решите систему уравнений \( \begin{cases} 2\log_5 x + \log_5 y = 1, \\ \log_5 x - 2\log_5 y = 8. \end{cases} \)

Решение:

Для решения системы логарифмических уравнений воспользуемся методом подстановки или сложения. Обозначим \( a = \log_5 x \) и \( b = \log_5 y \).

Система примет вид:

\[ \begin{cases} 2a + b = 1 \\ a - 2b = 8 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( b \):

\[ b = 1 - 2a \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ a - 2(1 - 2a) = 8 \]

\[ a - 2 + 4a = 8 \]

\[ 5a = 10 \]

\[ a = 2 \]

Теперь найдём \( b \), подставив \( a = 2 \) в выражение для \( b \):

\[ b = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 \]

Вернёмся к исходным переменным:

\[ \log_5 x = a = 2 \implies x = 5^2 = 25 \]

\[ \log_5 y = b = -3 \implies y = 5^{-3} = \frac{1}{125} \]

Проверим решение, подставив \( x=25 \) и \( y=\frac{1}{125} \) в исходную систему:

1) \( 2\log_5 25 + \log_5 \frac{1}{125} = 2 \cdot 2 + (-3) = 4 - 3 = 1 \) (верно)

2) \( \log_5 25 - 2\log_5 \frac{1}{125} = 2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8 \) (верно)

Ответ: \( x = 25, y = \frac{1}{125} \)