6. Решите систему уравнений \( \begin{cases} 2\log_5 x + \log_5 y = 1 \\ \log_5 x - 2\log_5 y = 8 \end{cases} \).

Решение:

1. Обозначим \( a = \log_5 x \) и \( b = \log_5 y \). Система примет вид:
2. \( \begin{cases} 2a + b = 1 \\ a - 2b = 8 \end{cases} \)
3. Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = 1 - 2a \).
4. Подставим во второе уравнение:
5. \( a - 2(1 - 2a) = 8 \)
6. \( a - 2 + 4a = 8 \)
7. \( 5a = 10 \)
8. \( a = 2 \)
9. Теперь найдём \( b \): \( b = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 \).
10. Теперь вернёмся к исходным переменным:
11. \( \log_5 x = a = 2 \implies x = 5^2 = 25 \)
12. \( \log_5 y = b = -3 \implies y = 5^{-3} = \frac{1}{125} \)

Ответ: x = 25, y = \(\frac{1}{125}\)