8. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} - 10 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-1} \). Уравнение имеет смысл при \(x \neq 1\).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 10 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{41}}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-1} \):

1) \( \frac{1}{x-1} = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x-1 = \frac{2}{1 + \sqrt{41}} \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 + \frac{2}{1 + \sqrt{41}} = \frac{1 + \sqrt{41} + 2}{1 + \sqrt{41}} = \frac{3 + \sqrt{41}}{1 + \sqrt{41}} \)

2) \( \frac{1}{x-1} = \frac{1 - \sqrt{41}}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x-1 = \frac{2}{1 - \sqrt{41}} \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 + \frac{2}{1 - \sqrt{41}} = \frac{1 - \sqrt{41} + 2}{1 - \sqrt{41}} = \frac{3 - \sqrt{41}}{1 - \sqrt{41}} \)

Оба корня не равны 1, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{3 + \sqrt{41}}{1 + \sqrt{41}}, x = \frac{3 - \sqrt{41}}{1 - \sqrt{41}} \).