10. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} - 3 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-1} \). Уравнение имеет смысл при \(x \neq 1\).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 3 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-1} \):

1) \( \frac{1}{x-1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x-1 = \frac{2}{1 + \sqrt{13}} \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 + \frac{2}{1 + \sqrt{13}} = \frac{1 + \sqrt{13} + 2}{1 + \sqrt{13}} = \frac{3 + \sqrt{13}}{1 + \sqrt{13}} \)

2) \( \frac{1}{x-1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \) \(\Rightarrow\) \( x-1 = \frac{2}{1 - \sqrt{13}} \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 + \frac{2}{1 - \sqrt{13}} = \frac{1 - \sqrt{13} + 2}{1 - \sqrt{13}} = \frac{3 - \sqrt{13}}{1 - \sqrt{13}} \)

Оба корня не равны 1, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{1 + \sqrt{13}}, x = \frac{3 - \sqrt{13}}{1 - \sqrt{13}} \).