7. Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0\)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \frac{1}{x-3} \). Уравнение имеет смысл при \(x \neq 3\).

Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Найдём корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-3} \):

1) \( \frac{1}{x-3} = 4 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 4(x-3) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 4x - 12 \) \(\Rightarrow\) \( 4x = 13 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{13}{4} \)

2) \( \frac{1}{x-3} = -1 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -(x-3) \) \(\Rightarrow\) \( 1 = -x + 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = 2 \)

Оба корня не равны 3, поэтому подходят.

Ответ: \( x = \frac{13}{4}, x = 2 \).