8. Решите систему уравнений: { lg(x^2+y^2)=2, (log2(x-4) = log2 3 - log2 y).

Решение:

Перепишем систему уравнений:

1. \( \lg(x^2 + y^2) = 2 \)

2. \( \log_2(x - 4) = \log_2 3 - \log_2 y \)

Из первого уравнения:

\[ x^2 + y^2 = 10^2 \]

\[ x^2 + y^2 = 100 \]

Из второго уравнения, используя свойства логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) \):

\[ \log_2(x - 4) = \log_2 \frac{3}{y} \]

Отсюда:

\[ x - 4 = \frac{3}{y} \]

\[ y(x - 4) = 3 \]

\[ y = \frac{3}{x - 4} \]

Подставим \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{3}{x - 4}\right)^2 = 100 \]

\[ x^2 + \frac{9}{(x - 4)^2} = 100 \]

\[ x^2 (x - 4)^2 + 9 = 100 (x - 4)^2 \]

\[ x^2 (x^2 - 8x + 16) + 9 = 100 (x^2 - 8x + 16) \]

\[ x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 9 = 100x^2 - 800x + 1600 \]

\[ x^4 - 8x^3 - 84x^2 + 800x - 1591 = 0 \]

Решение этого уравнения может быть сложным. Проверим возможные целочисленные корни, например, если \( x = 10 \), то \( y = \frac{3}{10-4} = \frac{3}{6} = 0.5 \).

Проверим первое уравнение: \( 10^2 + (0.5)^2 = 100 + 0.25 = 100.25 ≠ 100 \).

Если \( x = 7 \), то \( y = \frac{3}{7-4} = \frac{3}{3} = 1 \).

Проверим первое уравнение: \( 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50 ≠ 100 \).

Если \( x = -5 \), то \( y = \frac{3}{-5-4} = \frac{3}{-9} = -1/3 \).

Проверим первое уравнение: \( (-5)^2 + (-1/3)^2 = 25 + 1/9 ≠ 100 \).

Попробуем найти другие решения.

Из \( y = \frac{3}{x-4} \), также следует, что \( x-4 \) и \( y \) имеют одинаковый знак.

Заметим, что если \( x=10 \), \( y=0.5 \), то \( x^2+y^2 = 100+0.25 = 100.25 \).

Если \( x=-6 \), \( y = \frac{3}{-6-4} = -0.3 \). \( (-6)^2 + (-0.3)^2 = 36 + 0.09 = 36.09 ≠ 100 \).

Если \( x=10 \) и \( y=-0.5 \), это не удовлетворяет \( y = 3/(x-4) \).

Попробуем другое преобразование:

Из \( x^2+y^2=100 \) и \( y = 3/(x-4) \) получаем \( x^2 + 9/(x-4)^2 = 100 \).

Возможно, в системе есть опечатка, и \( \textrm{lg} \) должно быть \( \textrm{log}_2 \).

Если \( \textrm{log}_2(x^2+y^2)=2 \), то \( x^2+y^2=4 \).

И \( \textrm{log}_2(x-4) = \textrm{log}_2 3 - \textrm{log}_2 y \), то \( x-4 = 3/y \).

Тогда \( x = 4+3/y \).

Подставляем в \( x^2+y^2=4 \): \( (4+3/y)^2 + y^2 = 4 \)

\[ (\frac{4y+3}{y})^2 + y^2 = 4 \]

\[ \frac{16y^2+24y+9}{y^2} + y^2 = 4 \]

\[ 16y^2+24y+9 + y^4 = 4y^2 \]

\[ y^4 + 12y^2 + 24y + 9 = 0 \]

Это также сложное уравнение.

Вернемся к исходной системе:

\[ x^2 + y^2 = 100 \]

\[ y = \frac{3}{x - 4} \]

Если \( x=10 \), \( y=0.5 \). \( 100 + 0.25 ≠ 100 \).

Если \( x=-6 \), \( y = -0.3 \). \( 36 + 0.09 ≠ 100 \).

Рассмотрим случай, когда \( x \) и \( y \) положительны. Тогда \( x-4 > 0 \), значит \( x>4 \).

Возможны целочисленные решения \( x^2+y^2=100 \): \( (6,8), (8,6), (10,0), (0,10) \) и т.д.

Проверим пару \( (6,8) \): \( y = 8 \), \( x=6 \). \( 8 = 3/(6-4) = 3/2 \) — неверно.

Проверим пару \( (8,6) \): \( y = 6 \), \( x=8 \). \( 6 = 3/(8-4) = 3/4 \) — неверно.

Проверим пару \( (10,0) \): \( y=0 \). \( 0 = 3/(10-4) = 3/6 \) — неверно.

Проверим пару \( (0,10) \): \( x=0 \). \( y=10 \). \( 10 = 3/(0-4) = -3/4 \) — неверно.

Если \( x = -6 \), \( y = 8 \). \( 8 = 3/(-6-4) = 3/-10 \) — неверно.

Если \( x = 6 \), \( y = -8 \). \( -8 = 3/(6-4) = 3/2 \) — неверно.

Если \( x=8 \), \( y = -6 \). \( -6 = 3/(8-4) = 3/4 \) — неверно.

Если \( x = -8 \), \( y = 6 \). \( 6 = 3/(-8-4) = 3/-12 = -1/4 \) — неверно.

При \( x>4 \) и \( y>0 \) имеем \( y = 3/(x-4) \).

Решения нет или оно не является простым.

Ответ: Нет решений или требуется уточнение условия.