4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/6 t^3 - 2t^2 - 4t + 3 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?

Решение:

Скорость точки — это первая производная от координаты по времени: \( v(t) = x'(t) \).

1. Найдем производную от закона движения: \( v(t) = \left(\frac{1}{6} t^3 - 2t^2 - 4t + 3\right)' = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 - 4t - 4 = \frac{1}{2} t^2 - 4t - 4 \).
2. Приравняем скорость к заданному значению 38 м/с: \( \frac{1}{2} t^2 - 4t - 4 = 38 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение: \( \frac{1}{2} t^2 - 4t - 42 = 0 \). Умножим на 2: \( t^2 - 8t - 84 = 0 \).
4. Найдем дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400 \). \( \sqrt{D} = 20 \).
5. Найдем корни: \( t_1 = \frac{8 + 20}{2} = 14 \) и \( t_2 = \frac{8 - 20}{2} = -6 \).
6. Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: 14 секунд.