3. Вычислите предел функции: lim (x^6+2x-3)/(4x^3-8) при x→∞

Решение:

При \( x \to \infty \), старшие степени числителя и знаменателя определяют предел. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на \( x^3 \):

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{x^6+2x-3}{4x^3-8} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^6}{x^3} + \frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} - \frac{8}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^3 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}}{4 - \frac{8}{x^3}} \]

При \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) стремятся к нулю.

\[ \frac{\infty + 0 - 0}{4 - 0} = \frac{\infty}{4} = \infty \]

Ответ: \( \infty \)