8). Решите систему уравнений: { 4x + 2y = 10

Задание 8. Решение системы уравнений

Дано: система уравнений

• \( 4x + 2y = 10 \)

(Примечание: В задании предоставлено только одно уравнение. Для решения системы уравнений необходимо как минимум два уравнения. Если это было одно уравнение с двумя переменными, то у него бесконечное множество решений.)

Предполагая, что второе уравнение должно быть представлено, но оно отсутствует, давайте рассмотрим, как можно решить систему, если бы она была полной.

Пример решения, если бы было второе уравнение, например, \( x - y = 2 \):

Способ 1: Метод подстановки

1. Выразим \( x \) из второго уравнения:
\[ x = y + 2 \]
2. Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ 4(y + 2) + 2y = 10 \]
3. Раскроем скобки:
\[ 4y + 8 + 2y = 10 \]
4. Приведем подобные слагаемые:
\[ 6y + 8 = 10 \]
5. Вычтем 8 из обеих частей:
\[ 6y = 2 \]
6. Разделим на 6:
\[ y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
7. Теперь найдем \( x \), подставив \( y = \frac{1}{3} \) в выражение для \( x \):
\[ x = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \]

Способ 2: Метод сложения

1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
\[ 2(x - y) = 2 \cdot 2 \] \[ 2x - 2y = 4 \]
2. Теперь у нас есть система:
\[ \begin{cases} 4x + 2y = 10 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases} \]
3. Сложим два уравнения:
\[ (4x + 2x) + (2y - 2y) = 10 + 4 \] \[ 6x = 14 \]
4. Разделим на 6:
\[ x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]
5. Подставим \( x = \frac{7}{3} \) в любое из исходных уравнений (например, во второе):
\[ \frac{7}{3} - y = 2 \]
6. Вычтем \( \frac{7}{3} \) из обеих частей:
\[ -y = 2 - \frac{7}{3} = \frac{6}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3} \]
7. Умножим на -1:
\[ y = \frac{1}{3} \]

Ответ (при условии, что второе уравнение \( x - y = 2 \)): \( x = \frac{7}{3}, y = \frac{1}{3} \)

Если же было дано только одно уравнение \( 4x + 2y = 10 \), то оно имеет бесконечное множество решений. Его можно упростить до \( 2x + y = 5 \), или \( y = 5 - 2x \).