8. Решить неравенство: 4^x - 10 \(\cdot\) 2^{x-1} - 24 < 0.

Решение:

1. Перепишем неравенство, представив \( 4^x \) как \( (2^2)^x = (2^x)^2 \) и \( 2^{x-1} \) как \( 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2} \).
2. \( (2^x)^2 - 10 \cdot \frac{2^x}{2} - 24 < 0 \).
3. \( (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 24 < 0 \).
4. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).
5. Получим квадратное неравенство: \( y^2 - 5y - 24 < 0 \).
6. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( y^2 - 5y - 24 = 0 \) с помощью дискриминанта:
7. \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \).
8. \( \sqrt{D} = 11 \).
9. \( y_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
10. \( y_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
11. Квадратный трехчлен \( y^2 - 5y - 24 \) имеет корни \( y = 8 \) и \( y = -3 \). График параболы \( y = y^2 - 5y - 24 \) направлен ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - 5y - 24 < 0 \) выполняется для \( -3 < y < 8 \).
12. Учитывая условие \( y > 0 \), получаем \( 0 < y < 8 \).
13. Подставим обратную замену: \( 0 < 2^x < 8 \).
14. \( 0 < 2^x \) выполняется для всех \( x \).
15. \( 2^x < 8 \). Представим 8 как степень с основанием 2: \( 8 = 2^3 \).
16. \( 2^x < 2^3 \).
17. Так как основание \( 2 > 1 \), функция \( y = 2^x \) возрастающая. Следовательно, \( x < 3 \).

Ответ: \( x < 3 \).