10. Найти область определения функции: y = (x^2 - 25)^(-7/2) - (x^2 - 3x - 10)^(1/8).

Решение:

Область определения функции определяется условиями, при которых выражение под корнем (для нечетного корня) или основание степени (для отрицательной степени) и подкоренные выражения (для четного корня) имеют допустимые значения.

Функция состоит из двух частей, найдем область определения для каждой части отдельно.

1. Первое слагаемое: \( (x^2 - 25)^{-7/2} \)

Это выражение можно записать как \( \frac{1}{(x^2 - 25)^{7/2}} \) или \( \frac{1}{\sqrt{(x^2 - 25)^7}} \).

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо:

• Подкоренное выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( (x^2 - 25)^7 \ge 0 \).
• Знаменатель не должен быть равен нулю: \( (x^2 - 25)^7
  e 0 \).

Объединяя эти условия, получаем \( (x^2 - 25)^7 > 0 \).

Это эквивалентно \( x^2 - 25 > 0 \).

Решаем неравенство \( x^2 > 25 \):

• \( x < -5 \) или \( x > 5 \).

2. Второе слагаемое: \( -(x^2 - 3x - 10)^{1/8} \)

Это выражение можно записать как \( -\sqrt[8]{x^2 - 3x - 10} \).

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение под корнем восьмой степени (четной степени) должно быть неотрицательным:

• \( x^2 - 3x - 10 \ge 0 \).

Решаем квадратное неравенство \( x^2 - 3x - 10 \ge 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 10 = 0 \):

• \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
• \( \sqrt{D} = 7 \).
• \( x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \).
• \( x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \).

Парабола \( y = x^2 - 3x - 10 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 3x - 10 \ge 0 \) при \( x \le -2 \) или \( x \ge 5 \).

3. Объединяем условия:

Для первого слагаемого: \( x < -5 \) или \( x > 5 \).

Для второго слагаемого: \( x \le -2 \) или \( x \ge 5 \).

Чтобы функция была определена, оба условия должны выполняться одновременно. Найдем пересечение этих интервалов.

• Пересечение \( (x < -5) \) и \( (x \le -2) \) дает \( x < -5 \).
• Пересечение \( (x > 5) \) и \( (x \ge 5) \) дает \( x > 5 \).

Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов \( (-\infty, -5) \) и \( (5, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -5) \cup (5, +\infty) \).