8. Прямая а пересекает плоскость β в точке С, и образует с плоскостью угол 60°, А ∈ α, точка В основание перпендикуляра опущенного на плоскость β из точки А. AC = 10, найдите CB.

Решение:

Задача описывает прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза AC = 10 (расстояние от точки А до точки пересечения прямой с плоскостью).
• Угол между прямой (a) и плоскостью (β) равен 60°. Этот угол является углом между гипотенузой AC и катетом CB (проекцией наклонной на плоскость).
• CB — катет, прилежащий к углу 60°.

Используем тригонометрию для нахождения CB:

\( \cos(\angle ACB) = \frac{CB}{AC} \).

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{CB}{10} \).

Мы знаем, что \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{2} = \frac{CB}{10} \).

Решаем относительно CB:

\( CB = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).

Ответ: 5