8. Постройте на координатной плоскости а) точки М, F, Е, К, если М(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 5). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и КЕ.

Решение:

а) Построение точек:

Точки строятся на координатной плоскости по их координатам (x; y).

• M(-3; 0): На оси x отложите 3 единицы влево, на оси y - 0.
• F(4; 6): На оси x отложите 4 единицы вправо, на оси y - 6 единиц вверх.
• E(0; -4): На оси x - 0, на оси y - 4 единицы вниз.
• K(-3; 5): На оси x отложите 3 единицы влево, на оси y - 5 единиц вверх.

б) Определение точки пересечения прямых MF и KE.

Сначала найдем уравнения прямых MF и KE.

Уравнение прямой MF:

Точки: M(-3; 0), F(4; 6).

Угловой коэффициент \(k_{MF} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{4 - (-3)} = \frac{6}{7}\).

Уравнение прямой имеет вид \(y - y_1 = k(x - x_1)\). Используем точку M(-3; 0):

\(y - 0 = \frac{6}{7}(x - (-3))\)

\(y = \frac{6}{7}(x + 3)\)

\(y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7}\)

Уравнение прямой KE:

Точки: K(-3; 5), E(0; -4).

Угловой коэффициент \(k_{KE} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 5}{0 - (-3)} = \frac{-9}{3} = -3\).

Уравнение прямой имеет вид \(y - y_1 = k(x - x_1)\). Используем точку E(0; -4) (так как x=0, это сразу даст нам свободный член):

\(y - (-4) = -3(x - 0)\)

\(y + 4 = -3x\)

\(y = -3x - 4\)

Найдем точку пересечения, приравняв уравнения прямых:

\(\frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4\)

Умножим все на 7, чтобы избавиться от дробей:

\(6x + 18 = -21x - 28\)

Перенесем члены с x в одну сторону, а числа в другую:

\(6x + 21x = -28 - 18\)

\(27x = -46\)

\(x = -\frac{46}{27}\)

Теперь найдем y, подставив x в любое из уравнений, например, в \(y = -3x - 4\):

\(y = -3(-\frac{46}{27}) - 4\)

\(y = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4\)

\(y = \frac{46}{9} - \frac{36}{9}\)

\(y = \frac{10}{9}\)

Ответ: Точка пересечения имеет координаты (-46/27; 10/9).