8. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 20см и 21см, вокруг его оси. Вращение происходит во круг большего катета.

Решение:

1. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус.
2. Больший катет является осью вращения, поэтому он будет высотой конуса: \( h = 21 \) см.
3. Меньший катет является радиусом основания конуса: \( r = 20 \) см.
4. Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
5. Площадь основания (круга): \( S_{осн} = \pi r^2 \).
6. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi r l \), где \( l \) — образующая конуса.
7. Образующую \( l \) найдём по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и \( r \): \( l^2 = h^2 + r^2 \).
8. \( l^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841 \).
9. \( l = \sqrt{841} = 29 \) см.
10. Теперь вычислим площади:
11. \( S_{осн} = \pi 20^2 = 400 \pi \) см².
12. \( S_{бок} = \pi 20 29 = 580 \pi \) см².
13. Полная площадь поверхности: \( S_{полн} = 580 \pi + 400 \pi = 980 \pi \) см².

Ответ: \( 980 \pi \) см².