6. Найти промежутки возрастания и убывания функции, определить точки экстремума: f(x) = x³ + 3x² - 9x + 6;

Решение:

1. Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, найдём производную функции: \( f'(x) \).
2. \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 6) = 3x^2 + 6x - 9 \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \).
4. Разделим обе части на 3: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4 1 (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
7. Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).
8. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), \( (1, \infty) \).
9. Возьмём пробную точку из \( (-\infty, -3) \), например \( x = -4 \): \( f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
10. Возьмём пробную точку из \( (-3, 1) \), например \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 \). Функция убывает.
11. Возьмём пробную точку из \( (1, \infty) \), например \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
12. Точка \( x = -3 \) — точка локального максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'.
13. Точка \( x = 1 \) — точка локального минимума, так как производная меняет знак с '-' на '+'.
14. Вычислим значения функции в точках экстремума:
15. Для \( x = -3 \): \( f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 6 = -27 + 3(9) + 27 + 6 = -27 + 27 + 27 + 6 = 33 \).
16. Для \( x = 1 \): \( f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 6 = 1 + 3 - 9 + 6 = 4 - 9 + 6 = 1 \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -3] \) и \( [1, \infty) \). Функция убывает на \( [-3, 1] \). Точка максимума: \( (-3, 33) \). Точка минимума: \( (1, 1) \).