1. Решите иррациональное уравнение: √x +1+5= x;

Решение:

1. Данное уравнение: \( \sqrt{x+1} + 5 = x \).
2. Перенесём 5 в правую часть: \( \sqrt{x+1} = x - 5 \).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x+1 = (x-5)^2 \).
4. Раскроем скобки: \( x+1 = x^2 - 10x + 25 \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 11x + 24 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4 1 24 = 121 - 96 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).
7. Найдём корни: \( x_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \), \( x_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
8. Проверим корни.
9. Для \( x = 8 \): \( \sqrt{8+1} + 5 = \sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8 \). Левая часть равна правой, значит \( x=8 \) — корень.
10. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3+1} + 5 = \sqrt{4} + 5 = 2 + 5 = 7 \). Левая часть \( 7 \), правая часть \( 3 \). \( 7 \neq 3 \), значит \( x=3 \) — посторонний корень.

Ответ: 8.