8. Найдите первообразную функции f(x) = 4x + 1/x, график которой проходит через точку M(-1; 4)

Решение:

Первообразная функции \( f(x) = 4x + \frac{1}{x} \) находится путём интегрирования:

\[ F(x) = \int \left( 4x + \frac{1}{x} \right) dx \]

Используя свойства интегралов:

\[ F(x) = \int 4x dx + \int \frac{1}{x} dx \]

\[ F(x) = 4 \int x dx + \int \frac{1}{x} dx \]

\[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C \]

\[ F(x) = 2x^2 + \ln|x| + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( M(-1; 4) \). Это значит, что при \( x = -1 \) значение \( F(x) = 4 \).

\[ 4 = 2(-1)^2 + \ln|-1| + C \]

\[ 4 = 2(1) + \ln(1) + C \]

\[ 4 = 2 + 0 + C \]

\[ 4 = 2 + C \]

\[ C = 4 - 2 \]

\[ C = 2 \]

Подставим найденное значение \( C \) в выражение для \( F(x) \):

\[ F(x) = 2x^2 + \ln|x| + 2 \]

Ответ: \( F(x) = 2x^2 + \ln|x| + 2 \)