7. Вычислите значение выражения log₈12 - log₈15 + log₈20

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \) и \( \log_b M + \log_b N = \log_b (MN) \).

\[ \log_8 12 - \log_8 15 + \log_8 20 = \]

Сначала выполним вычитание:

\[ \log_8 \left( \frac{12}{15} \right) + \log_8 20 = \]

Упростим дробь \( \frac{12}{15} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5} \):

\[ \log_8 \left( \frac{4}{5} \right) + \log_8 20 = \]

Теперь выполним сложение:

\[ \log_8 \left( \frac{4}{5} \cdot 20 \right) = \]

Упростим выражение в скобках:

\[ \frac{4}{5} \cdot 20 = 4 \cdot \frac{20}{5} = 4 \cdot 4 = 16 \]

\[ \log_8 16 \]

Чтобы найти значение \( \log_8 16 \), нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести 8, чтобы получить 16?

Пусть \( \log_8 16 = x \). Тогда \( 8^x = 16 \).

Представим 8 и 16 как степени числа 2:

\[ (2^3)^x = 2^4 \]

\[ 2^{3x} = 2^4 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 3x = 4 \]

\[ x = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( \frac{4}{3} \)