5. Решите уравнение 9ˣ - 8⋅3ˣ - 9 = 0

Решение:

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Введём замену \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 8y - 9 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

• \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)
• \( \sqrt{D} = 10 \)
• \( y_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( y_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 3^x \):

• \( 3^x = 9 \) \(\implies\) \( 3^x = 3^2 \) \(\implies\) \( x = 2 \).
• \( 3^x = -1 \) — решений нет, так как \( 3^x \) всегда больше нуля для любого действительного \( x \).

Ответ: \( x = 2 \).