8. Найдите наименьшее значение функции y=1+4х-х² на отрезке [0;2]

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 1 + 4x - x^2 \) на отрезке \( [0; 2] \) найдём её производную и критические точки.

\[ y' = (1 + 4x - x^2)' = 4 - 2x \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 4 - 2x = 0 \]\[ 2x = 4 \]\[ x = 2 \]

Критическая точка \( x = 2 \) входит в отрезок \( [0; 2] \). Теперь найдём значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При \( x = 0 \): \( y(0) = 1 + 4(0) - (0)^2 = 1 \)
• При \( x = 2 \): \( y(2) = 1 + 4(2) - (2)^2 = 1 + 8 - 4 = 5 \)

Сравним полученные значения: 1 и 5. Наименьшее значение равно 1.

Ответ: 1