10. Найдите производную сложной логарифмической (тригонометрической, показательной) функции

Решение:

В задании представлены три функции, для каждой из которых нужно найти производную.

1. Показательная функция: \( y = 5^{x^5+2} \)

Используем правило дифференцирования показательной функции \( (a^u)' = a^u \ln a \cdot u' \).

\[ y' = 5^{x^5+2} \ln 5 \cdot (x^5+2)' \]\[ y' = 5^{x^5+2} \ln 5 \cdot (5x^4) \]\[ y' = 5x^4 \ln 5 \cdot 5^{x^5+2} \]

2. Тригонометрическая функция: \( y = \sin(x^3-3x+4) \)

Используем правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \). Здесь \( f(u) = \sin u \) и \( g(x) = x^3-3x+4 \).

Производная от \( \sin u \) равна \( \cos u \).

Производная от \( g(x) \) равна \( g'(x) = 3x^2 - 3 \).

\[ y' = \cos(x^3-3x+4) \cdot (3x^2 - 3) \]\[ y' = (3x^2 - 3) \cos(x^3-3x+4) \]

3. Логарифмическая функция: \( y = \log_5 (4x-1) \)

Используем правило дифференцирования логарифмической функции \( (\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u' \).

\[ y' = \frac{1}{(4x-1) \ln 5} \cdot (4x-1)' \]\[ y' = \frac{1}{(4x-1) \ln 5} \cdot 4 \]\[ y' = \frac{4}{(4x-1) \ln 5} \]

Ответ:

• Для \( y = 5^{x^5+2} \): \( y' = 5x^4 \ln 5 \cdot 5^{x^5+2} \)
• Для \( y = \sin(x^3-3x+4) \): \( y' = (3x^2 - 3) \cos(x^3-3x+4) \)
• Для \( y = \log_5 (4x-1) \): \( y' = \frac{4}{(4x-1) \ln 5} \)