8) \(\left(\frac{1}{81}\right)^{x^2+1} = 9^{x-5}\)

Решение:

1. Приведем обе части уравнения к основанию 3. \(81 = 3^4\), \(9 = 3^2\).
2. \(\left(\frac{1}{3^4}\right)^{x^2+1} = (3^2)^{x-5}\).
3. \((3^{-4})^{x^2+1} = 3^{2(x-5)}\).
4. \(3^{-4(x^2+1)} = 3^{2x-10}\).
5. Приравняем показатели степеней: \(-4(x^2+1) = 2x-10\).
6. \(-4x^2 - 4 = 2x - 10\).
7. Перенесем все члены в правую часть: \(0 = 4x^2 + 2x + 4 - 10\).
8. \(4x^2 + 2x - 6 = 0\).
9. Разделим на 2: \(2x^2 + x - 3 = 0\).
10. Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25\).
11. Найдем корни:
12. \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2*2} = \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
13. \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2*2} = \frac{-1-5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\).

Ответ: \(1; -\frac{3}{2}\)