6) \(\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1\)

Решение:

Решим уравнение \(\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1\).

1. Перенесем один из корней в правую часть: \(\sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{2x+3}\).
2. Возведем обе части в квадрат: \(x+1 = (1 - \sqrt{2x+3})^2\).
3. Раскроем квадрат разности: \(x+1 = 1 - 2\sqrt{2x+3} + (2x+3)\).
4. Упростим: \(x+1 = 1 - 2\sqrt{2x+3} + 2x+3\).
5. \(x+1 = 4 + 2x - 2\sqrt{2x+3}\).
6. Выделим корень: \(2\sqrt{2x+3} = 4 + 2x - x - 1\).
7. \(2\sqrt{2x+3} = x + 3\).
8. Снова возведем обе части в квадрат: \((2\sqrt{2x+3})^2 = (x+3)^2\).
9. \(4(2x+3) = x^2 + 6x + 9\).
10. \(8x + 12 = x^2 + 6x + 9\).
11. Перенесем все в одну сторону: \(x^2 + 6x - 8x + 9 - 12 = 0\).
12. \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\).
14. \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3\).
15. \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1\).
16. Проверим корни.
17. Для \(x=3\): \(\sqrt{3+1} + \sqrt{2(3)+3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \neq 1\).
18. Для \(x=-1\): \(\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{0} + \sqrt{1} = 0 + 1 = 1\).

Ответ: -1