3) \(z_1 = 6 + i\) и \(z_2 = 3 - i\)

Задание: Найти:

В данном задании даны два комплексных числа: \(z_1 = 6 + i\) и \(z_2 = 3 - i\). Необходимо найти:

1. \(z_1 + z_2\)


2. \(z_1 - z_2\)


3. \(z_1 * z_2\)


4. \(\frac{z_1}{z_2}\)


5. \(z_1^2 - 2z_2\)

Решение:

1) \(z_1 + z_2\)

\(z_1 + z_2 = (6 + i) + (3 - i) = 6 + 3 + i - i = 9\)

2) \(z_1 - z_2\)

\(z_1 - z_2 = (6 + i) - (3 - i) = 6 + i - 3 + i = 3 + 2i\)

3) \(z_1 * z_2\)

\(z_1 * z_2 = (6 + i)(3 - i) = 6*3 - 6*i + i*3 - i*i = 18 - 6i + 3i - (-1) = 18 - 3i + 1 = 19 - 3i\)

4) \(\frac{z_1}{z_2}\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{6+i}{3-i}\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \((3+i)\):

\(\frac{(6+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{18 + 6i + 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{18 + 9i - 1}{9 - (-1)} = \frac{17 + 9i}{10} = 1.7 + 0.9i\)

5) \(z_1^2 - 2z_2\)

Сначала вычислим \(z_1^2\):

\(z_1^2 = (6+i)^2 = 6^2 + 2*6*i + i^2 = 36 + 12i - 1 = 35 + 12i\)

Теперь вычислим \(2z_2\):

\(2z_2 = 2(3-i) = 6 - 2i\)

Наконец, вычтем:

\(z_1^2 - 2z_2 = (35 + 12i) - (6 - 2i) = 35 + 12i - 6 + 2i = 29 + 14i\)

Ответ:

1) \(z_1 + z_2 = 9\)

2) \(z_1 - z_2 = 3 + 2i\)

3) \(z_1 * z_2 = 19 - 3i\)

4) \(\frac{z_1}{z_2} = 1.7 + 0.9i\)

5) \(z_1^2 - 2z_2 = 29 + 14i\)