8. Игрульный кубик бросают четыре раза. Найти вероятность, что двойка выпадет ровно три раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность выпадения двойки (успех) при одном броске кубика равна \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность невыпадения двойки (неудача) равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

Нам нужно, чтобы двойка выпала ровно 3 раза из 4 бросков.

Формула биномиальной вероятности: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( n \) — число испытаний, \( k \) — число успехов, \( p \) — вероятность успеха, \( q \) — вероятность неудачи.

В нашем случае: \( n = 4 \), \( k = 3 \), \( p = \frac{1}{6} \), \( q = \frac{5}{6} \).

\( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4 \)

\( p^3 = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216} \)

\( q^{4-3} = q^1 = \frac{5}{6} \)

\( P(X=3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^1 = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4 \times 1 \times 5}{216 \times 6} = \frac{20}{1296} \)

Сокращаем дробь:

\( \frac{20}{1296} = \frac{5}{324} \)

Ответ: \( \frac{5}{324} \)