8. Докажите неравенство 49b² - 14bc + 2c² + 16c + 69 > 0.

Решение:

Преобразуем данное выражение, выделив полные квадраты:

\( 49b^2 - 14bc + 2c^2 + 16c + 69 \)

Сгруппируем члены, чтобы выделить полные квадраты:

\( (49b^2 - 14bc + c^2) + (c^2 + 16c + 64) + 5 \)

Теперь мы видим полные квадраты:

• \( 49b^2 - 14bc + c^2 = (7b - c)^2 \)
• \( c^2 + 16c + 64 = (c + 8)^2 \)

Подставим эти выражения обратно:

\( (7b - c)^2 + (c + 8)^2 + 5 \)

Известно, что квадрат любого действительного числа неотрицателен:

• \( (7b - c)^2 \ge 0 \)
• \( (c + 8)^2 \ge 0 \)

Следовательно, сумма двух квадратов также неотрицательна:

\( (7b - c)^2 + (c + 8)^2 \ge 0 \)

Добавив 5 к этой сумме, мы получим:

\( (7b - c)^2 + (c + 8)^2 + 5 \ge 0 + 5 \)

\( (7b - c)^2 + (c + 8)^2 + 5 \ge 5 \)

Поскольку \( 5 > 0 \), то \( 49b^2 - 14bc + 2c^2 + 16c + 69 > 0 \) для любых действительных значений \( b \) и \( c \).

Доказано.