6. Найдите целые решения системы неравенств \( \begin{cases} (x + 4)^2 - x(x + 2) > 2x + 11, \\ 6x + 5 \le 5x + 7. \end{cases} \)

Решение:

1) Решим первое неравенство:

\( (x + 4)^2 - x(x + 2) > 2x + 11 \)

1. Раскроем скобки: \( (x^2 + 8x + 16) - (x^2 + 2x) > 2x + 11 \).
2. Упростим: \( x^2 + 8x + 16 - x^2 - 2x > 2x + 11 \).
3. Приведем подобные слагаемые: \( 6x + 16 > 2x + 11 \).
4. Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \( 6x - 2x > 11 - 16 \).
5. Получим: \( 4x > -5 \).
6. Разделим на 4: \( x > -\frac{5}{4} \) или \( x > -1.25 \).

2) Решим второе неравенство:

\( 6x + 5 \le 5x + 7 \)

1. Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \( 6x - 5x \le 7 - 5 \).
2. Получим: \( x \le 2 \).

3) Найдем целые решения системы:

Мы получили, что \( x > -1.25 \) и \( x \le 2 \). Объединяя эти условия, получаем \( -1.25 < x \le 2 \).

Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -1, 0, 1, 2.

Ответ: -1, 0, 1, 2.