1. Докажите неравенство (a-5)² > a(a-10).

Решение:

Раскроем скобки в левой части неравенства:

\( (a - 5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25 \)

Раскроем скобки в правой части неравенства:

\( a(a - 10) = a^2 - 10a \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

\( a^2 - 10a + 25 > a^2 - 10a \)

Вычтем \( a^2 \) из обеих частей неравенства:

\( -10a + 25 > -10a \)

Прибавим \( 10a \) к обеим частям неравенства:

\( 25 > 0 \)

Полученное неравенство \( 25 > 0 \) является верным. Следовательно, исходное неравенство \( (a - 5)^2 > a(a - 10) \) также верно для любого значения \( a \).

Доказано.