8. Дана трапеция. Основание равно 8. Верхнее основание равно 2. Угол при нижнем основании равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

1. Основания трапеции: \( a = 8 \), \( b = 2 \).
2. Из вершины верхнего основания опустим высоту. Получится прямоугольный треугольник с углом 45° и противолежащей стороной — высотой \( h \).
3. Основание этого прямоугольного треугольника равно разности оснований трапеции, деленной пополам, или же, если опустить высоту из обеих вершин верхнего основания, то получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.
4. Основание прямоугольника равно верхнему основанию, то есть 2.
5. Длина двух отрезков, на которые делится нижнее основание, равна \( (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3 \) каждый.
6. В прямоугольном треугольнике угол при нижнем основании равен 45°, значит, второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
7. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны. Высота \( h \) равна отрезку основания, то есть \( h = 3 \).
8. Подставим значения в формулу площади: \( S = \frac{8 + 2}{2} \cdot 3 \)
9. \( S = \frac{10}{2} \cdot 3 \)
10. \( S = 5 \cdot 3 \)
11. \( S = 15 \)

Ответ: Площадь трапеции равна 15.