2. В окружности проведены две хорды. Одна из них отсекает дугу, центральный угол которой равен 114°. Найдите другие центральные углы, если хорды пересекаются под прямым углом.

Решение:

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен величине этой дуги. Хорды пересекаются под прямым углом, значит, углы пересечения равны 90°.

1. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен \( 114^{\circ} \).
2. Дуга, соответствующая этому углу, равна \( 114^{\circ} \).
3. Две хорды делят окружность на 4 дуги. Сумма всех дуг равна \( 360^{\circ} \).
4. Хорды пересекаются под прямым углом, поэтому они делят окружность на 4 дуги, из которых две пары равны.
5. Пусть одна хорда делит окружность на дуги \(   \) и \(   \), а другая — на дуги \(   \) и \(   \).
6. Угол между хордами равен полусумме противолежащих дуг: \(   =   \).
7. В данном случае, одна дуга равна \( 114^{\circ} \). Пусть другая дуга, отсекаемая первой хордой, равна \( x \). Тогда \( 114^{\circ} + x = 180^{\circ} \) (так как хорда является диаметром или угол между хордами 180, но в данном случае это 90).
8. Сумма двух смежных дуг, которые образуют угол 180 градусов, равна 180. Так как угол между хордами 90 градусов, то дуги, на которые они делят окружность, в сумме с противолежащими дают 180 градусов.
9. Пусть дуга \(   = 114^{\circ} \). Дуга \(   = 360^{\circ} - 114^{\circ} - (\text{другие две дуги}) \).
10. Поскольку хорды пересекаются под прямым углом, то сумма противоположных дуг равна 180.
11. Значит, \( 114^{\circ} + \text{дуга }   = 180^{\circ} \). Это неверно.
12. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые они опираются. \( 90^{\circ} = \frac{\text{дуга }   + \text{дуга }  }{2} \).
13. Пусть дуга \(   = 114^{\circ} \). Тогда \( 180^{\circ} = \text{дуга }   + \text{дуга }   \).
14. Сумма двух других дуг равна \( 360^{\circ} - 114^{\circ} - \text{дуга }   \).
15. Из рисунка видно, что дуга \(   = 114^{\circ} \). Пусть другая дуга, отсекаемая второй хордой, равна \( y \).
16. Тогда \( 114^{\circ} + y = 180^{\circ} \) - это неверно, так как это не половина окружности.
17. Угол между хордами равен полусумме дуг. \( 90^{\circ} = \frac{114^{\circ} + \text{дуга }  }{2} \).
18. \( 180^{\circ} = 114^{\circ} + \text{дуга }   \).
19. \( \text{дуга }   = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).
20. Таким образом, дуги, на которые хорды делят окружность, равны \( 114^{\circ}, 66^{\circ}, 114^{\circ}, 66^{\circ} \).
21. Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны \( 114^{\circ} \) и \( 66^{\circ} \).

Ответ: Центральные углы равны 114° и 66°.