7. Вычислите: $$\log_4 \frac{1}{36} - \log_4 \frac{1}{25} + \log_4 81$$

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \log_b M - \log_b N = \log_b \left(\frac{M}{N}\right) \) и \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

$$\log_4 \frac{1}{36} - \log_4 \frac{1}{25} + \log_4 81 = \log_4 \left(\frac{1/36}{1/25}\right) + \log_4 81$$

Упростим дробь:

$$\frac{1/36}{1/25} = \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{1} = \frac{25}{36}$$

Теперь выражение выглядит так: $$\log_4 \frac{25}{36} + \log_4 81$$

Снова применим свойство сложения логарифмов:

$$\log_4 \left(\frac{25}{36} \cdot 81\right)$$

Вычислим аргумент логарифма:

$$\frac{25}{36} \cdot 81 = \frac{25 \cdot 81}{36} = \frac{25 \cdot 9 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{25 \cdot 9}{4} = \frac{225}{4}$$

Таким образом, выражение равно:

$$\log_4 \frac{225}{4}$$

Ответ: $$\log_4 \frac{225}{4}$$