7. Вычислить площадь трапеции, ограниченной y=0, x=1, x=2, y=x²

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \]

В данном случае, верхней границей является функция \( y = x^2 \), нижней границей — ось \( x \) (то есть \( y = 0 \)). Пределы интегрирования заданы от \( x = 1 \) до \( x = 2 \).

Таким образом, площадь трапеции (или, точнее, области под кривой) будет:

\[ S = \int_1^2 (x^2 - 0) dx = \int_1^2 x^2 dx \]

Найдем первообразную для \( x^2 \), которая равна \( \frac{x^3}{3} \).

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Ответ: \(\frac{7}{3}\)