6. \(\int_0^2 (5x^4 - 8) dx\)

Решение:

Это определенный интеграл. Сначала найдем первообразную для \( 5x^4 - 8 \).

Первообразная для \( 5x^4 \) равна \( 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \).

Первообразная для \( -8 \) равна \( -8x \).

Таким образом, первообразная для \( 5x^4 - 8 \) равна \( x^5 - 8x \).

Теперь вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_0^2 (5x^4 - 8) dx = \left[ x^5 - 8x \right]_0^2 = (2^5 - 8 · 2) - (0^5 - 8 · 0) \]

\[ (32 - 16) - (0 - 0) = 16 - 0 = 16 \]

Ответ: 16