7. Решите уравнение $$ 2\cos^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 $$

Решение:

1. Заменим $$ \cos^2 x $$ через $$ 1 - \sin^2 x $$, используя основное тригонометрическое тождество: \( 2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0 \)
2. Раскроем скобки: \( 2 - 2\sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 \)
3. Приведём подобные члены: \( -2\sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \)
4. Умножим всё уравнение на -1 для удобства: \( 2\sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть $$ t = \sin x $$. Тогда уравнение примет вид: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).
7. \( t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
8. \( t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
9. Теперь вернёмся к замене: \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = \frac{1}{2} \).
10. Для \( \sin x = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
11. Для \( \sin x = \frac{1}{2} \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, m \) — целые числа.

Ответ: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $$, где $$ n, k, m $$ — целые числа.